One-Pot Kylling og Dumplings

5 spsk kold usaltet smør, opdelt

1 lille gul løg, hakket

1 stilk selleri, tyndt skåret

2 gulerødder, tærte medium

1 1/4 kop all-purpose mel, delt

3 kopper kylling bouillon

2 kopper terninger kogt kylling

1/3 pund grønne bønner, trimmet og skåret i 1-tommers stykker

Salt og peber

1 tsk bagepulver

2 spiseskefulde hakket frisk persille, plus mere til topping

1/2 kop fuldmælk